ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Hyperbolischer Fixpunkt</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Hyperbolischer Fixpunkt</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Ein <b>hyperbolischer Fixpunkt</b> ist ein <a href="Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkt</a> (auch <a href="Gleichgewichtspunkt" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtspunkt">Gleichgewichtspunkt</a> genannt) eines <a href="Dynamisches_System" title="Dynamisches System">dynamischen Systems</a> mit bestimmten Eigenschaften. Im Gegensatz zu einem elliptischen Fixpunkt gibt es keine Zentrumsmannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits genannten Lösungskurven den Fixpunkt umkreisen, sondern instabile und stabile Mannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits auf den Fixpunkt zulaufen (stabile Mannigfaltigkeit) oder sich von ihm entfernen (instabile Mannigfaltigkeiten). Die Klassifikation der Fixpunkte spielt eine Rolle in der qualitativen Diskussion der Lösungen von Systemen <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnlicher Differentialgleichungen</a> (siehe den Artikel <a href="Autonome_Differentialgleichung" title="Autonome Differentialgleichung">Autonome Differentialgleichung</a>).

</p>

<p>Der Name kommt daher, dass im Fall zweidimensionaler <a href="Autonome_Differentialgleichung" title="Autonome Differentialgleichung">autonomer Differentialgleichungssysteme</a>, die häufig zur Beschreibung dynamischer Systeme benutzt werden, der Phasenfluss im typischen Fall eines <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunktes</a> <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a>-ähnlich ist (siehe Abbildung). Die sich kreuzenden Geraden in der Abbildung (die Separatrix) sind hier die stabile Mannigfaltigkeit (die Gerade, bei der die Pfeile auf den Fixpunkt im Zentrum zulaufen) und die instabile Mannigfaltigkeit (Gerade, auf der die Pfeile vom Fixpunkt fort zeigen). Alternativ lässt sich das auch über die Eigenwertstruktur der linearisierten Systeme um den Fixpunkt erklären:

</p>

<ul><li>Im Fall von autonomen Differentialgleichungssystemen betrachtet man die Lösungkurven <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d1a21f93f4898468d3be62d985d996a11b8f561.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(t)}" loading="lazy"></span> der Differentialgleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}_{t}=F({\vec {x}})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{t}=F({\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f2600d90a8ebee114493d74c718c895630da631.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{t}=F({\vec {x}})}" loading="lazy"></span>, die einen Phasen-<a href="Fluss_(Mathematik)" title="Fluss (Mathematik)">Fluss</a> (ein Vektorfeld) definieren. Linearisiert man um einen Fixpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span>, für den <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}_{t}=F({\vec {x}})=0}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{t}=F({\vec {x}})=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cff2413e0406e12b835de93228f8099b5dd61059.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.395ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{t}=F({\vec {x}})=0}" loading="lazy"></span> ist, erhält man eine lineare Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}_{t}=A{\vec {u}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}_{t}=A{\vec {u}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bdf2526e6b3fac1f652a8e5a045967a01a38a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.327ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}_{t}=A{\vec {u}}}" loading="lazy"></span> mit der <a href="Jacobimatrix" class="mw-redirect" title="Jacobimatrix">Jacobimatrix</a> (Matrix der partiellen Ableitungen) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>. Ein hyperbolischer Fixpunkt liegt vor, wenn keine von deren Eigenwerten den Realteil 0 hat. Dann lässt sich etwa für zwei Dimensionen zeigen, dass entweder die beiden Eigenwerte reell sind und entgegengesetztes Vorzeichen haben<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (man spricht dann auch von einem <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunkt</a>), oder beide gleiches Vorzeichen des Realteils haben (instabile Knoten (Quellen) bei positivem Vorzeichen und stabile Knoten (Senken) bei negativem Vorzeichen falls der Imaginärteil verschwindet und ansonsten stabile und instabile Foki, geometrisch Spiralen). Im häufig betrachteten Fall konservativer Systeme hat man es bei hyperbolischen Fixpunkten in der Ebene nur mit Sattelpunkten zu tun. Es lässt sich unter allgemeinen Voraussetzungen zeigen, dass lokal eine stabile und/oder eine instabile Mannigfaltigkeit (beide invariant unter dem Fluss) des Fixpunkts existieren, die jeweils auch verschwinden können oder von voller Dimension des zugrundeliegenden Raumes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> wie bei Quellen und Senken sind (Stabiler-Mannigfaltigkeiten-Satz). Nach dem <a href="Satz_von_Hartman-Grobman" title="Satz von Hartman-Grobman">Satz von Hartman-Grobman</a> ist das Verhalten um den hyperbolischen Fixpunkt beim linearisierten System topologisch ähnlich (<i>lokal topologisch konjugiert</i>) dem des vollen, gegebenenfalls nichtlinearen Systems. Das drückt die strukturelle Stabilität des Verhaltens dynamischer Systeme um hyperbolische Fixpunkte aus (im Gegensatz elliptischen Fixpunkten).</li></ul>

<ul><li>Man kann das dynamische System auch als diskretes dynamisches System von Abbildungen (<a href="Diffeomorphismus" title="Diffeomorphismus">Diffeomorphismen</a>) auffassen: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a359a63db7dc6efecfa1962aa9ee4a348b0a8fae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.981ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span>. Ein hyperbolischer Fixpunkt des Diffeomorphismus ist ein Fixpunkt p (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T^{k}(p)=p}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T^{k}(p)=p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1e88aa522f5b0452195f86f4c821333930dbd2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.055ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T^{k}(p)=p}" loading="lazy"></span>), an dem die Jacobi-Matrix <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle DT(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle DT(p)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d80d8e53ce5ecb582eaa6e208f5886c2f4b8248f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle DT(p)}" loading="lazy"></span> keine Eigenwerte mit Betrag 1 hat (die also auf dem Einheitskreis liegen). Der Zusammenhang mit der Definition über Vektorfelder ergibt sich daraus, dass bei Abbildungen der über die Zeit integrierte Vektorfluss betrachtet wird, so dass den Eigenwerten von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> dort die Eigenwerte von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{A}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{A}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ebe1117a4d16dd21dc73da2e92192d4809f17a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.548ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e^{A}}" loading="lazy"></span> entsprechen: verschwindet der Realteil der Eigenwerte von A entspricht das für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{A}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{A}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ebe1117a4d16dd21dc73da2e92192d4809f17a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.548ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e^{A}}" loading="lazy"></span> Modulus 1. Ein Beispiel für eine Abbildung, die nur einen hyperbolischen Fixpunkt hat, ist <a href="Arnolds_Katzenabbildung" title="Arnolds Katzenabbildung">Arnolds Katzenabbildung</a>.</li></ul>

<p>Bei elliptischen Fixpunkten verschwindet der Realteil der Eigenwerte, die dann rein imaginär sind (also Modulus 1 haben) und der Fluss um den Fixpunkt als Rotation beschrieben werden kann (mit einer Zentrums-Mannigfaltigkeit).

</p><p>Hyperbolische Fixpunkte führen häufig zu <a href="Chaostheorie" class="mw-redirect" title="Chaostheorie">chaotischer</a> Bewegung (siehe <a href="Homokliner_Orbit" title="Homokliner Orbit">Homokliner Orbit</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

<p>Das nichtlineare zweidimensionale System gewöhnlicher autonomer Differentialgleichungen

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=y,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a7a5df1c3651da4c336557d8ddd652c0d5f3ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.359ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=y,}" loading="lazy"></span></dd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9c4cfefccf6d3e8db8c505eb0d6abb08f69e5f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.591ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>hat den einzigen Fixpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)=(0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)=(0,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1da2cb1455d13650d28b16363dc5c4b70a0ec8ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)=(0,0)}" loading="lazy"></span>. Linearisierung um den Fixpunkt ergibt die Jacobimatrix

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88e837c4e289fe621b9fc9dc9512de9ac44e9b4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.5ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>mit den Eigenwerten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfb177fbda843ef8ebfeed5f631770db9092d17b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.841ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}" loading="lazy"></span>. Diese haben für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \neq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5770f8ec95300cbfde18eb59c49a11f12adbcd91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.749ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha \neq 0}" loading="lazy"></span> alle nichtverschwindende Realteile und man hat es deshalb mit einem hyperbolischen Fixpunkt zu tun. Nach dem Satz von Grobman-Hartman verhält sich das System auch im nichtlinearen Fall in der Nähe des Fixpunkts wie die linearisierte Form und das Verhalten ist ähnlich wie in der ersten Abbildung oben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scholarpedia.org/article/Equilibrium">Eugene Izhikevich, Equilibrium, Scholarpedia</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Siehe <a href="Autonome_Differentialgleichung" title="Autonome Differentialgleichung">Autonome Differentialgleichung</a></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>